微积分和矢量运算在大学物理教学中的应用举例论文

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摘要：本文通过对大学物理学习过程中碰到的典型问题举例探讨如何运用微积分和矢量运算的方法解决问题，让学生把微积分和矢量运算思想熟练地自然地应用到大学物理学习当中。

关键词：大学物理；微积分；矢量运算

本文引用格式：李慧芳,等.微积分和矢量运算在大学物理教学中的应用举例[J].教育现代化,2019,6(69):145-146.

物理学是研究物质结构，物质相互作用和运动规律的自然学科[1]。从初中开始，学生就接触学习物理这门课程。进入大学之后，大学物理是理工科学生都要学习的一门公共基础课程。与初高中物理相比，大学物理学习的内容在深度和广度上都有明显的增加，初高中物理在知识点的学习上一般只针对某些特殊情况来讨论，而大学物理适用范围更广泛。比如，典型的对力做功问题的学习，初高中物理定义做功为：力与质点沿该力方向所发生的位移的乘积，它只涉及到质点在直线运动情况下恒力做功的情况，恒力和直线路径是一种特殊情况。一般情况下，质点所受作用力为变力，质点运动路径为曲线。大学物理中把功推广到更一般的情况，即变力做功，质点路径为一般曲线。对于变力做功的处理是采用先微分再积分的方法。引入微积分的思想是大学物理课程中一个非常重要的特点[2,3]。此外，在物理计算过程中经常涉及到矢量运算。微积分和矢量运算在大学物理教学中占据非常重要的地位，其应用也较广泛。

一 微积分思想

微积分的思想对很多刚走出中学校园的大学生来讲是一个难点，他们不容易去理解。而掌握微积分思想又是学好大学物理的关键。首先，我们要知道为什么要用微积分的方法去研究问题。采用微积分方法的主要目的是把“变量问题”转化为“常量问题”来解决。而“常量问题”我们在中学物理的学习中已经有了解决方法。另外，采用微积分的方法要先“微分”，然后才能“积分”。那么怎么“微分”？怎么来选择“微分(微元)”就成了解决问题的关键。下面以球体质量为例来具体说明如何采用微积分的方法求解问题。

例1：计算一个半径为R的球体的质量。针对两种情况进行讨论：

(1)球体质量均匀分布，体密度为ρ；
(2)球体质量非均匀分布，体密度ρ=3r。

解：(1)对于质量均匀分布的球体，球体中各处体密度相同，ρ是常量，即属于前面提到“常量问题”。则球体质量m=体密度ρ×球体的体积V，所以m=4R3。(2)若球体的质量非均匀分布，球体密度ρ是变量，属于“变量问题”。此时不能采用上面方法：球体质量m=密度ρ×球体体积来计算。所以，在非均匀分布情况下计算球体质量时，要采用微积分的方法来研究。即要先“微分”，再“积分”。那么怎么“微分”？如何选择“微分元”？如何把“变量问题”转化为“常量问题”?我们知道“常量问题”即体密度ρ是常量。由球体体密度ρ=3r可以看出，球体密度ρ和半径r有关，即r相同，ρ相同。r相同构成一球面，同一个薄球面上密度是常量。所以微分元的选择：薄球面。整个球体可以看成由无数多个同心“薄球面”组成，且同一个薄球面上密度相同。求解非均匀分布的球体质量（变量问题）就转化为求解无数个薄球面质量（常量问题）的总和。对任意薄球面因体密度ρ是常量，薄球面质量=密度×薄球面体积，把所有微元质量求和可计算出球体的总质量，即所谓的再“积分”。假设薄球面半径为r，宽度为dr,则薄球面的质量dm=薄球面密度×薄球面的体积， ，整个球体质量




由上例可以看出，采用微积分方法研究问题，主要是把原本属于“变量的问题”转化为许多个“常量问题”去解决。先“微分”，后积分，每一个“微分元”的研究属于“常量问题”，然后再进行“积分”计算。

二 矢量运算

物理学中物理量有标量和矢量。标量只有大小没有方向。矢量既有大小又有方向，矢量遵循平行四边形法则。两个矢量A1,A2之间常见的运算有A1A2A1A2,A1A2,A1A2等。物理学中有一些物理量是通过两个矢量的矢量积或标量积来定义。比如，磁


三应用举例

例2．在一沿负Z方向的匀强磁场中放置一半径为R的半圆形导线，导线平面在XOY平面内，载流I,求导线所受的安培力。




四 结论

大学物理课程与很多专业课程联系密切，为理工科各专业学习其他课程打下必要的物理基础。微积分和矢量运算的运用在大学物理学习中尤为重要，是学好大学物理的前提和基础，教师在教学过程中应注重学生对微积分思想的理解，通过教学举例让学生对微积分和矢量运算有清楚的认识，并能把它们熟练地应用到大学物理学习当中。

参考文献

[1]马文蔚，周雨青.物理学(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]黎定国,邓玲娜,刘义保,等.大学物理中微积分思想和方法教学浅谈[J].大学物理,2005,24(12):51-54.
[3]郑小虎，郭建友，曹卓良.矢量运算向标量运算转变及其在物理计算中的应用[J].安徽大学学报，2010,34(2),57-60.

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