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摘要：微分中值定理是微分学的理论基础，在研究方程根的存在性、不等式证明等方面有着重要的作用，本文通过例子来谈其中辅助函数的构造技巧，以便学生能够熟练运用微分中值定理解决相关问题。
关键词：微分中值定理；辅助函数
本文引用格式：王成祥.例谈《高等数学》中微分中值定理使用技巧[J].教育现代化,2019,6(52):190-191,194.
An Example of the Application Skills of Differential Mean Value Theorem in Advanced Mathematics
WANG Cheng-xiang
(School of Mathematical Sciences,Chongqing Normal University,Chongqing China)
Abstract:The differential mean value theorem is the theoretical foundation of differential calculus,and plays an important role in the study of the existence of the root of the equation,the proof of the inequality,etc.In this paper,the construction technique of the auxiliary function is discussed to make the students can use the differential mean value theorem to solve some problems in practical application.
Key words:Differential median theorem;Auxiliary function
在高等数学的教学中，微分中值定理是微分学的理论基础，是沟通函数与其导数的桥梁，使得我们不仅可以利用导数来研究函数在某一点处的变化，还能够利用导数来研究函数在区间的整体性态，比如单调性、极值性等。许多教材讲解时通常重点放在理论证明上，使得学生理解和实际应用中存在很大困难，面对许多需要利用中值定理进行证明的题型，往往束手无策。其中最主要的难点在于：(1)辅助函数的构造上，许多题型不是一眼就能看出要构造的函数，需要一些技巧进行处理，才能使用微分中值定理；(2)有些题型需要多次使用微分中值定理或者几个微分中值定理进行混合使用。因此，需要对微分中值定理一些使用技巧进行一个简单归纳，使得学生掌握辅助函数的构造技巧和混合使用微分中值定理的方法，到达熟练运用微分中值定理解决实际问题的目的。首先回顾下三个基本的微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。
定理1(罗尔定理)[1,2]如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]连续；(2)在开区间（a,b）可导；(3)在区间端点处的函数值相等，f(a)f(b)。那么在（a,b）内至少有一点(a,b)，使得函数f(x)在该点的导数为0，f()0。
通过上面的例子，可以看到在利用中值定理进行证明的时候，有时候是不容易通过观察得到其辅助函数，有时候需要利用几次中值定理，有时候需要结合几种中值定理进行配合使用，因此在这种类型的证明题需要一些技巧进行处理。现我们总结如下：(1) 针对方程中含有函数和其导数的根存在性证明，首先需要构造辅助函数 F(x) g(x) f (x) ，这需要我们对 F(x) g(x) f (x) 先求导，根据对应的项相等和 ln g(x) 的导数来得到辅助函数 F(x) ，然后再根据中值定理证明。(2) 针对区间存在两个点使得等式成立的情形，首先需要进行移项，将相同项移到一边，然后观测两边所设计到的中值定理，最后再在两边分别使用中值定理。本文只是简单地总结了一些常用的技巧，对于更复杂的证明题，需要同学们细心观察、并运用这些基本技巧进行组合以及综合使用 3 个基本中值定理，达到熟练运用微分中值定理解决实际问题的目的。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].第六版.北京:高等教育出版社,2007.
[2]王绵森,马知恩.工科数学分析基础[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006.
[3]何桃顺,伍春江.微分中值定理在考研试题中的应用[J].教育界,2013(9):110-112.
[4]马知恩,王绵森.高等数学疑难问题选讲[M].北京:高等教育出版社,2014.
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