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摘要：离散数学是信息类学科专业必修课和部分数学学科专业选修课，是新增大数据等专业后续学科的基础课。探讨在有限的课时内，组织安排好课堂教学，培养学生的数学建模能力在人工智能时代背景下是十分重要的。本文就大学的离散数学课程进行了教学探究，以培养学生的数学文化素养、抽象思维、计算思维、建模思维为目的进行课程教学实践，以提高学生学习兴趣和学习能力为导向，从而达到离散数学的预期教学效果。
关键词：数学文化素养；抽象思维；计算思维；建模思维
本文引用格式：范馨月.人工智能时代下的离散数学教学探究[J].教育现代化,2020,7(41):186-188.
Exploration of discrete Mathematics Teaching in the age of aI
FAn Xin-yue
(School of Mathematics and Statistics of guizhou university,guizhou guiyang)
Abstract:Discrete Mathematics is a compulsory course for computer science and an optional course for some disciplines.It is a basic course for follow-up disciplines of computer science and involves a wide range of subjects.How to organize and arrange classroom teaching well and cultivate students’mathematical modeling ability is very important under the background of artificial intelligence era.In this paper,the teaching of discrete mathematics in Colleges and universities has been practiced and explored,with the aim of cultivating students’mathematical culture,Abstract thinking,Computational Thinking and modeling thinking.Cultivate students’interest in learning,improve the teaching effect of discrete mathematics and students’learning ability.
Key words:Mathematical literacy;Abstract thinking;Computational thinking;Modeling thinking
一 引言
离散数学作为信息类和近几年开设的大数据专业最重要的基础理论课程，是研究离散量的结构及相互关系的数学学科。在现今人工智能时代背景下，通过离散数学的教学，不仅培养学生掌握处理离散量和离散结构的能力，而且培养学生的数据分析建模的能力。学好离散数学这门课程，可以为后续课程，比如数据结构、算法设计、数据挖掘、人工智能等课程以及硕士博士阶段的研究夯实基础。此门课程具有知识点多而杂、定义多、理论抽象以及多学科交汇的特性，使得教师教和学生学存在非常大的困难，目前以课堂理论教学为主的传统教学方式面临着很大的挑战。特别是在人工智能时代，如何提高离散数学课程教学的实践水平，如何在教学过程中培养学生的数学思维和建模能力是我们亟待解决的问题。授之以鱼不如授之以渔，光讲概念记内容对于真正掌握好离散数学的思想是相距甚远的。现今，处在人工智能时代这样的大环境下，怎样将离散数学课程教学的开展与人工智能相结合，让学生具备时代变革所需的知识和能力，是值得我们进一步思考和探究的。
二 离散数学课程教学现状分析
离散数学课程本身具有多学科交汇、概念难懂、知识点多而杂、理论抽象等特点。本校离散数学课程有54个学时，全部为课堂理论讲授，没有上机实践课。目前我校使用的离散数学教材是高等教育出版社出版，由屈婉玲、耿素云、张立昂编写的《离散数学》[1]（第二版）经典教材。内容涵盖面非常广，涵盖了数理逻辑、图论、代数结构、集合论、组合数学和初等数论六个重要的数学分支内容，课程内容若按照模块化结构来安排课时远远不够。因此在实际的教学中，主要选取数理逻辑、集合论、图论、代数结构几个模块进行课堂教学讲授。由于课程的定义、定理较多，理论性强，学生往往感到离散数学内容庞杂、知识零散，只是从表面理解学习内容，难以将所学知识转化应用，数据分析建模的能力较弱，这也导致学生在走出校园以后不能发挥自身的专业特点和应用自身的知识储备，也就是没有真正理解课程的精髓，没有掌握其中的数学思维，知多而识少。在人工智能时代的背景下，更多地需要学生解决问题的能力，而这些都需要建立在学生活学活用的基础上，更是建立在学生的数学文化素养和数学思维上。
三 将数学文化引入离散数学课堂教学
在离散数学教学中贯穿数学文化是十分必要的，一方面可以培养学生的数学素养，另一方面可以提高学生的学习兴趣，激发学生的学习热情。让学生在学习数理逻辑、集合论、图论、代数学等部分概念、方法、结论和定理时了解相关数学领域的发展史和思想史。比如讲命题逻辑时穿插亚里斯多德的生平介绍，学生可能对亚里斯多德在哲学领域的贡献比较熟悉，却不知其亦是形式逻辑论研究的鼻祖；在讲解命题的概念时，给学生讲理发师悖论、罗素悖论、阿基里斯悖论等，拓展学生的数学文化知识，并渗透三次数学危机的数学史，让学生对命题的概念认识更为清晰并且激发他们对数学知识的求知欲望；在讲欧拉图的时候先用问题导入式教法，问学生是否研究过自己的签名，由每个人的签名引入一笔画问题，然后用一些直观的图形来设置问题，让学生动脑思考动手画画看图形能否一笔画成功。从而引发学生的求知欲，在接下来的教学中便顺理成章引入哥尼斯堡七桥问题的背景，与欧拉共思考，提出能够一笔画问题的必要条件，而不是直接讲概念和定理。通过哥尼斯堡七桥问题的引入和欧拉思考的步骤的层层深入，让学生感受到数学文化的魅力，从而能更深刻地理解所学内容；再如，图论的教学中如何让学生理解“树”的概念也非常重要，后续课程的学习中会涉及到二叉树搜索、最小生成树、决策树以及随机森林等算法，掌握好树的概念对理解相关算法起到积极的作用。在离散数学教学过程中将伯努利家族中的数学家用树的形式展现出来，不仅能让学生从数学文化历史背景中提供啊自身的数学素养，而且使得学生通过形象的描绘，深刻和彻底地理解“树”的概念；在讲解集合论的相关内容时，将极具传奇色彩的德国著名数学家康托的生平事迹和他在集合论创立中所做出的贡献作一个较详细的介绍，让学生感受到数学的无限魅力以及数学家值得赞叹的数学思维。离散数学教学恰似做菜时，面对同样的食材，不同的人做出的菜味道不一样，将数学文化作为调料添加进去，学生在吃离散数学这道大餐时也会感觉到美味可口[2]。有目的地融入数学文化历史场景，可以帮助学生进一步理解和掌握所学相应内容的思想和方法，促进知识的消化和吸收。具备相应的数学素养，在实际的生活和实践中具有非常神奇的效果。
四 在离散数学教学中培养学生的数学思维
（一）抽象思维
抽象思维是将要研究的内容联结、组织在一起，利用概率、判断和推理的形式，借助数学符号来进行思维的方法。在数理逻辑中，对已知的问题进行推理，首先需要将已知命题用符号来表示，这个过程便是把具体问题转化为抽象的关系，通过一系列推理规则来进行推理证明。学生通过推理证明来拟请事物的逻辑关系，这个过程锻炼了学生的抽象思维。抽象思维将问题概念化，抽象化，作为进一步推理的基础，在人工智能上有实际且广泛的应用，比如以数理逻辑为基础的人工智能专家系统、自然语言处理、图像识别和视频分析技术等。离散数学教学中在给学生讲逻辑推理证明时，可以适当引入雷蒙德-斯马亚提出的谜题，这不仅能够活跃课堂，而且让学生在解决无赖与骑士、泥巴孩子谜题及逻辑谜题数独等问题的同时学习兴趣最大限度地被激发，让学生在解决实际问题的同时感受到逻辑推理的魅力。在欧拉图和哈密顿图的概念讲解中，可以从背景出发引发学生思考，直到概念的建立进行层层深入，让学生体会抽象思维的技巧和数学之美，从而起到锻炼自身的抽象思维能力的效果。
（二）计算思维
计算思维是将数学思维和计算科学的思想与方法相融合，从而进行算法设计、问题求解、语义识别等，涵盖了人工智能的思维广度与深度[3]。在离散数学课程的教学中，如果仅仅讲授相关理论和算法，很难引发学生的学习兴趣，更难将理论知识融合到实际应用中，难以显现出课程与数学、计算机科学和人工智能之间的微妙关系。在前期基础课程的学习中，比如求解超越方程或高于五次的方程，求解特殊积分，大规模线性方程组的计算等，解析地求解存在很大的困难。因此必须具备计算思维的理念，从数值解的角度出发，以抽象和自动化为手段进行算法设计，利用计算机进行程序实现。从实际问题出发，离散数学的教学目标之一即是培养学生的计算思维能力[4]。文献[5]将对分课堂引入离散数学的教学，探讨怎样落实计算思维的培养。在离散数学教学中，应适当增加实验教学，选取重要的概念、算法进行讲解，然后进行程序编写及实现。引入实际问题，比如智能交通、管道铺设、线路优化等。针对这些问题有经典的Dijkstra’s算法、Prim算法、Kruskal算法等，让学生自己动手进行算法实践，从中感受并体会知识产生和处理过程，有利于学生对理论知识的认识和对算法实现及软件的熟练应用。
（三）建模思维
随着人工智能时代的到来，数学建模越来越受到各个领域的重视，人工智能离不开数学建模。数学建模是针对实际问题，建立数学语言来描述实际问题，然后通过抽象和简化，建立能够近似刻画实际问题的数学模型，最后通过计算结果，回到实际问题中进行检验。一个好的数学模型不仅要有严密的推理，还要能利用模型计算结果解决实际中遇到的问题，在实际问题中得到应用和推广。算法是人工智能时代最为核心的内容，而模型的建立是最为关键也是最为困难的，建模思维的培养需要渗透到大学的学科建设和基础课程的教学当中，文[6]讨论了研究性教学在数学模型课程中的应用，文[7]探讨了“学习范式”下的本科教学模式，建模思维的培养在本科教学中越来越受到重视。智能交通系统中的无人驾驶，公安系统中警车的多点监视、巡逻路线、协同办案、目标锁定、警力配备等应用领域，常常借助离散数学中图论模块中的无向图及有向图的概念来描述系统中个体和个体的相互关系[8]。在离散数学的教学过程中，各大部分内容都必须将建模思维贯穿其中。在逻辑推理部分讲解商人和盗贼过河问题时，引导学生由简入繁，用系统化的数学语言来描述问题，建立模型求解问题；在讲解匹配问题时，引入最贴近学生生活的诸如最优选课方式、大学生择偶婚配条件、快递小哥送货路径等问题；在讲解最短路径时，引入北京奥运公交线路优化问题；在各模块内容的讲解中，有意识地将最贴近学生生活的实际问题引入到离散数学枯燥的概念与定理教学实践中，也可以适当引入最近几年的全国大学生数学建模竞赛题、深圳数学建模挑战赛等相关实际问题，以赛促教。让学生感到学有所用，主动去思考，主动去寻求答案，并且了解现今的大数据处理技术和应该掌握的技能，为后续课程的学习埋下伏笔。
五 结论
离散数学中的数学思维体现在各模块的知识点上，要把培养学生的数学素养和数学思维能力贯穿于整个课程的教学，渗透到每个教学环节中。在人工智能时代的大背景下，首先教师要加强对离散数学课程内容的深度理解，精心设计每个教学环节。在教学中既要讲授教学内容的知识点，还要以学生为主体，采取案例教学、启发式教学等手段，将数学文化贯穿教学始终。还要不断地挖掘培养数学思维的素材，以培养数学思维为目标，探索培养学生数学思维的方法。有意识地在讲授该课程的课时中，增加实际问题的应用教学，实现对学生潜移默化的训练，使学生具备独立思考，灵活应用所学知识分析问题、建模、解决问题的能力，而不是死记硬背书上的概念定理。具备人工智能时代的基本素质，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
参考文献
[1]耿素云,屈婉玲,张立昂，等.离散数学[M].第二版，高等教育出版社,2018.
[2]刘卫锋,刘林,王东晓，等.数学文化融入离散数学的教学研究[J].计算机教育,2011,3(25):52-55.
[3]周以真.计算思维[J].中国计算机学会通讯，2007,3(11):83-85.
[4]武建春.基于计算思维培养的离散数学课程教学研究[J].大学数学,2016,32(6):75-78.
[5]唐耀平,韦美雁.对分课堂:计算思维“落地”的离散数学创新教学范式[J].大学数学,2018,34(4):52-55.
[6]马智慧.《数学模型》课程教学模式探讨[J].大学数学,2018,34(4):56-61.
[7]吴立保.“学习范式”下美国研究型大学本科教育改革的经验及启示[J].现代大学教育,2017(6):45-52.
[8]刘建刚,赵军产.大数据与人工智能背景下离散数学教学探讨[J].计算机时代,2018,5:77-81.
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