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摘要：几何学是一门古老而实用的学科，其历史悠久，内涵丰富，思想深邃。了解几何学的发展，有助于提高数学教育工作者的专业素养，也有助于提升学生对几何学的学习兴趣。本文研究了欧氏几何与非欧几何的历史及发展现状，通过列举著名的数学家，简要介绍了解析几何与微分几何的发展历史，并介绍了著名的“欧拉示性数”与“高斯-博内-陈定理”。
关键词：欧氏几何；非欧几何；欧拉示性数；高斯-博内-陈定理
本文引用格式：张增乐.关于几何学发展史的一些研究[J].教育现代化,2020,7(52):182-185.
Studies on the History of Geometry
ZHANG Zeng-le
(School of Mathematics and Big Data of Chongqing University of Arts and Sciences,Chongqing)
Abstract:Geometry is an ancient and practical subject with a long history,rich connotation and profound thought.Understanding the development of geometry will help to improve the professional quality of mathematics educators,and also help to enhance students'interest in learning geometry.In this paper,the history and development of Euclidean geometry and non Euclidean geometry are studied.By listing the famous mathematicians,the development history of analytic geometry and differential geometry is briefly introduced.The famous"Euler's number"and"Gauss bonnet Chen theorem"are also introduced.
Key words:Euclidean geometry;Non Euclidean geometry;Euler number;Gauss bonnet Chen theorem
一 引言
著名数学家庞加莱曾说：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”科学可以给我们知识，而历史却能给我们智慧。几何学是一门研究几何图形相关性质的学科，当人们开始认识图形的时候，几何学就已经产生了，所以说几何学具有悠久的历史。了解学习几何学发展史，这有助于提高数学教育工作者的数学素养，有助于提高数学教育工作者的教学效果，同时也提升学生对几何学的学习兴趣、研究兴趣。总之，了解几何学的发展史，这对教师的教学研究及学生的学习都具有重要意义[1]。
1975年，物理诺贝奖获得者杨振宁曾为著名数学家陈省身作诗一首，并被广为流传：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。千古存心事，欧高黎嘉陈。”诗中最后一句“欧高黎嘉陈”提到了几何学发展历史中重要五位几何学家：欧几里得、高斯、黎曼、嘉当和陈省身，这五位几何学家都是数学史中里程碑式的人物。本文将主要通过认识这五位几何学家及几何学家们的代表性工作来介绍几何学的发展。
二欧氏几何
(一)欧几里得(约公元前330年－公元前275年)
欧几里得最杰出的著作为《几何原本》，该著作大约成书于公元前300年，是史上最早的数学著作。它总结了希腊时代的数学成果，在书中推导出了许多现今中学数学教材中的内容，如三角形内角和等于180度、毕达哥拉斯的勾股定理等等。至今，《几何原本》都被认为是学习几何知识的标准教科书，而《几何原本》中的几何学，称为欧几里得几何学，简称为欧氏几何。欧几里得几何的主要结果都依赖于以下五大基本几何公设。
Ⅰ.(直线公理)过两点能且只能作一条直线；Ⅱ.线段(有限直线)可以无限地延长；
Ⅲ.(圆公理)以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；
Ⅳ.(角公理)凡是直角都相等；
Ⅴ.(平行公理)同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180度，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
其中平行公理也可以等价的描述为：在平面内，过直线外一点，能作且只能作一直线跟此直线平行。
明代科学家徐光启在翻译《几何原本》时，曾评论其书说：“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”
(二) 笛卡尔(1596年－1650年)
在《几何原本》出现之后，接近2000年的时间里，几何学上没有太大的突破，直到笛卡尔发明了笛卡尔坐标系，开创了解析几何。解析几何的出现是十分具有划时代意义的，在解析几何出现之前，几何和代数是分开的，几何的问题只能通过几何的方法解决，代数的问题也只能通过代数的方法解决。而在解析几何中，通过坐标系，我们可以将几何对象与代数对象建立一一对应关系，比如说空间中的点与一对数的对应关系，空间中的曲线或曲面与代数方程的一一对应关系，从而可以将几何问题转换为代数问题进行求解，这让很多几何难题迎刃而解[2,3]。反之，笛卡尔坐标系同时说明了代数方程也有其几何含义，如一些特殊的二次方程。
这种对应关系的建立，对数学的影响是深远的，并为牛顿、莱布尼兹发现微积分开辟了道路，为数学分析这门学科的出现提供了基础。例如微积分中两个经典的例子：在笛卡尔坐标系下，求曲线某点的切线问题及求平面曲边梯形的面积问题。
(三) 欧拉示性数(欧拉：1707年－1783年)
欧拉示性数是一个关于曲面的重要拓扑不变量，也是几何学中一个非常重要的数学概念。对于多面体而言，欧拉示性数=顶点数-边数+面数。对于所有三维欧氏空间中的任意多面体，欧拉示性数=2。例如：四面体与长方体。
如图1、图2所示，我们可以发现四面体的欧拉示性数=4(顶点数)-6(边数)+4(面数)=2；长方体的欧拉示性数=8(顶点数)-12(边数)+6(面数)=2。
对于空间中多面体的欧拉公式的第一个证明是由20岁的柯西给出：首先去掉多面体的一个面，再将去掉的面的边相互拉远，把所有剩下的点、线、面变成平面的上的网格图，在这个过程中，顶点、边、面的数量没有发生改变。而后，我们将平面网格图中的线段一条一条地去掉，在去掉线段的过程中，可以发现：每当去掉一条线段时，同时会去掉一个面或者是一个顶点。从而，欧拉示性数保持不变。当所有的线段都去掉时，平面上只剩下一个顶点，此时，再加上之前去掉的一个面，我们发现欧拉示性数=2。
对于空间中曲面，一般的计算公式是欧拉示性数=2-2*亏格数，亏格是指曲面上洞眼的个数。例如：球面的亏格=0，从而球面的欧拉示性数=2；环面的亏格=1，故而环面的欧拉示性数=0。
三 非欧几何
(一) 高斯(1777年－1855年)
17世纪末，牛顿和莱布尼兹分别建立了新的数学工具---微积分，数学家们开始利用微积分的方法研究几何学，这导致了微分几何的诞生。
在微分几何中，主要以曲线及曲面作为研究对象，研究曲线和曲面的弯曲程度是其中的重点内容。在这里，我们通过曲率来精确的刻画曲线或曲面的弯曲程度。具体来说，在曲线或曲面上，我们又通过曲线或曲面法线方向的变化快慢来描述曲率。例如：直线上各点的法线方向都相同，故直线的曲率为0。而形容曲面弯曲程度的曲率，我们命名为高斯曲率，这主要是为了纪念高斯的伟大发现。由于高斯证明了曲面上的曲率是内蕴量，这是微分几何发展史中及其重要的发现。现今，该结果被称为高斯绝妙定理[4]。下面，本文将对高斯绝妙定理做一个简单的解释。
我们知道球面是弯曲的，这是因为我们站在球面的外面看，观察得到球面是弯曲的。但是如果是球面上的一只蚂蚁，它能否知道球面是弯曲的？高斯用数学的语言告诉我们，从球面本身(内蕴)出发，我们也可以知道球面是弯曲的。由此例可知，虽然曲率的定义是由曲面外法向量的变化而得，即曲率从曲面的外在来定义的，但由高斯绝妙定理，实际上这个量是一个内蕴量。除此以外，高斯绝妙定理也有其他重要的推论，比如说：一张平展的纸不能完全紧贴到球面上，反之，球面也不能展开在一个平面上而不使距离变形。这是几何上一个非常重要的发现，也为黎曼几何的出现埋下伏笔。这类几何有别于欧几里得的几何学，也被称为是非欧几何。
(二) 黎曼(1826年－1866年)
黎曼是高斯的学生，黎曼以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础，推广为任意空间的内蕴几何，通过定义黎曼度量，引进流形曲率等概念，创立了黎曼几何学。从狭义来看，三维空间中，曲面的曲率为零时，对应于通常的欧氏几何学；曲面的曲率为负常数时，对应于罗氏几何学(双曲几何)；曲面的曲率为正常数时，对应于黎曼几何学。与此同时，对应于不同曲面上的“三角形”，其内角和不一定为180度。比如说，在球面上，此时的“直线”是以球心为圆心的圆弧，而这时，球面上三条“直线”所围成的三角形的内角之和超过180度。
黎曼几何开拓了人们对几何学的认识，也引领着数学家们对几何学进一步的深入研究，并对近代数学及物理学影响巨大。例如，爱因斯坦承载了高斯及黎曼关于内蕴几何的想法，并且将它实物化，在黎曼几何的基础上提出了广义相对论，这对现今的物理学研究有着深远影响。可以说，虽然黎曼几何抽象无比，但在广义相对论里仍然得到了重要的应用。这正如著名数学家罗巴切夫斯基所说：“不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际的世界上。”
(三) 嘉当(1869年－1951年)
在黎曼创立黎曼几何后，还未来得及将其进一步完善，黎曼就因肺结核在1866年去世。黎曼几何的后续工作经过了很多数学家们的努力将以拓展和完善。如：庞加莱创造的三角剖分、里奇提出了联络的概念，建立了张量分析等等。特别是法国数学家嘉当，嘉当开创了纤维丛联络论，建立了外微分形式和活动标架法，沟通了李群与黎曼几何的联系，开拓了黎曼几何的广阔前景，具有深远影响。同时，嘉当对黎曼对称空间贡献巨大。我国吴文俊院士曾评价嘉当：“嘉当在黎曼几何方面最重要的工作无疑是黎曼对称空间的理论，这一理论的发现、发展和完善皆归功于嘉当一个人。”
(四) 陈省身(1911年－2004年)
1934年，陈省身博士师从著名的几何学家布拉施克，学习微分几何、积分几何。1936年，陈省身跟随嘉当作博士后研究，学习纤维丛理论、活动标架法等。与嘉当面对面的指导，使得陈省身终生受益。1944年，陈省身发表了划时代的论文《闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明》[5]，这是陈省身的成名之作，奠定了他在数学史中的地位。下面我们简要介绍曲面上的高斯-博内-陈定理。
在前文中，我们提到平面上的三角形内角和为180度，球面上的“三角形”内角和大于180度。而对于一般的曲面上，由三条测地线构成的三角形，其内角和等于180度加上高斯曲率在此三角形上的积分，这就是著名的高斯-博内定理。具体的数学描述如下：设D是曲面上的由三条测地线构成的三角形，其三个内角分别为a1,a2,a3，则a1+a2+a3+=∫∫DKdA+π
其中K表示曲面的高斯曲率，dA是曲面的面积元。当曲面是平面时，高斯曲率为零，从而上式就说明三角形的内角和为180度。关于高斯－博内定理的内蕴证明一直是数学家们关心的一大公开问题，直到陈省身在1944年，给出了该定理的内蕴证明，现今，此定理也被称为高斯-博内-陈定理。
此外，陈省身开创了整体微分几何、纤维丛微分几何，构建了陈省身示性类。正是这些杰出的工作，1984年，陈省身获得数学的终身成就奖---沃尔夫奖，为纪念陈省身的数学贡献，国际数学联盟在特设立“陈省身奖”作为国际数学界最高级别的终身成就奖。华东师范大学数学系张奠宙教授在《陈省身传》中写道：陈省身发表的数学论文很多，其中最惹人关注的有两项：一是‘高斯-博内公式’的内蕴证明以及陈类的提出，开创了整体微分几何的新纪元；另一项是后来在世纪之交成为研究热点的陈省身-西蒙斯理论。”[6]
四 后记
综上所述，几何学发展史的重要时间节点如表1。
从上表几何学历史的发展来看，欧几里得的《几何原本》影响深远，在接近2000年的时间里，这部著作在几何学历史中一直占据着统治地位。而从笛卡尔建立坐标系开始，几何学与其他数学分支渐渐联系起来。首先几何与代数紧密联系起来，而这一结合，为牛顿和莱布尼兹发现微积分开辟了道路。微积分出现之后，数学家们开始利用微积分作为工具研究几何，又致使非欧几何的发现。非欧几何中内蕴几何学、黎曼几何学的发现为爱因斯坦提出广义相对论铺平了道路。这正如杨振宁所说“浑然归一体，广邃妙绝伦。”
参考文献
[1]徐文学,夏云伟.高等几何中启发式教学的探讨[J].西南师范大学学报(自然科学版),2017,42(04):142-145.
[2]吕林根,许子道.解析几何(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]王一名.解析几何融入线性代数教学中的思考[J].教育现代化,2018,5(51):202-203.
[4]彭家贵,陈卿.微分几何[M].北京:高等教育出版社,2002.
[5]陈省身,陈维桓.微分几何讲义(第二版)[M].北京:北京大学出版社,2001.
[6]张奠宙,王善平.陈省身传[M].天津:南开大学出版社,2004.
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