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摘 要: 文章介绍了高斯函数的定义及其性质，例析高斯函数与其他知识的交汇问题的处理策略，最后给出复习备考的建议.
关键词: 高斯函数,高考备考,核心素养
1 问题的提出
《高考评价体系》指出: 高考要从“知识立意”转 向“能力立意”，考查学生的“关键能力”和“核心素 养”.这就要求学生在学习中，学会灵活运用所学知 识分析、解决问题，达到从“解题”向“解决问题”的 转变.笔者在一轮复习的教学中，发现高斯函数频频 出现在一些数学题中，学生面对此类问题常因方法 不当，或运算过程繁杂，导致虽做对但耗时太多，或 做错丢分，成绩不理想，而若能熟练掌握高斯函数的 定义与性质，将其运用到解题中，定会事半功倍，提 高解题正确率与效率.如何帮助学生在高考复习备 考中，遇到与高斯函数有关的问题时，能够准确、快 速、高效地解答呢? 笔者通过梳理，现将该类问题整 理成文，与读者交流，以期抛砖引玉.
2 高斯函数的介绍
2.1 高斯函数的定义
设 x∈R，用 [x]表示不超过x 的最大整数，则称 y = [x]为高斯函数，也叫取整函数.显然，其定义域 为 R，值域为 Z.高斯函数的定义域是连续的，但值域是离散的.
我们把一个数的小数部分记作 {x}，则有 x =[x] + {x}，显然 0 ≤ {x}< 1.一 般地，我们称 y = {x}为小数函数.
2.2 高斯函数的性质
3 例析高斯函数与其他知识的交汇问题
3.1 利用高斯函数解函数问题
3.1.1 求函数解析式
例 1 某学校要召开学生代表大会，规定各班 每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数 大于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人 数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用高斯函数 y =[x]可以表示为( ).
评注 该题主要考查学生的逻辑推理能力和综合 运用数学知识的能力，另外该题可以用特殊值验证法.
3.1.2 求函数值
评注 该题的难度较大，主要考查利用导数研 究函数的单调性与值域，换元法求复合函数值域等，体 现了逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.
3.1.3 求函数的值域( 或最值)
评注 该题属于新定义题，解答的关键在于对 定义的理解及变量的分段讨论，这也体现了高斯函 数是一种分段函数的属性，考查了学生逻辑推理、数 学运算的核心素养.
评注 集合 A 为函数 y =f( x) ( 0 ≤x <1) 的值 域，由此问题转化为求函数的最大值与最小值的和， 求该函数最值的关键在于，根据高斯函数的定义恰 当地分段讨论，该题很好地考查了分类讨论思想.
3.1.4 判断函数的性质
评注 该题是一道高斯函数与三角函数结合的 判断函数性质的问题，考查了学生的数学运算、逻辑 推理等数学核心素养.
3.1.5 函数的零点问题
例 6 已知函数f( x) = 2x{x}-x -1.则函数的 的所有零点之和为( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.2 高斯函数与方程交汇问题
综上，方程全部实根和为-2.
评注 解答该题的关键在于对高斯函数定义和性质的理解，是一道较简单的方程题，考查了学生的 逻辑推理、数学运算核心素养.
3.3 高斯函数与不等式交汇问题
例 8 已知 x>0.不等式 [x] {x}
解析 由 x = [x] + {x}，不等式 [x] {x}<x-1变形为（[x] -1）（x -[x] -1 ）<0，有x < [x]+1恒成立。
所以不等式等价于 [x] -1>0.
即 [x] >1.即 x≥2.
所以不等式解集为 [2.+ ∞).
评注 解答该题的关键在于对不等式的合理变 形，及高斯函数性质 x < [x] + 1 的运用，考查了逻 辑推理、数学运算的数学核心素养.
3.4 高斯函数与数列交汇问题
3.4.1 数列通项问题
评注 解答该题的关键在于抓住高斯函数的定 义，将区间进行分段讨论.
3.4.2 数列求和问题
易知相应的平面区域为四个边长为 1 的正方 形，故面积和为 4.
评注 根据高斯函数的定义，逐一表示出平面 区域对应的不等式组，便可发现平面区域为 4 个正 方形.
3.6 高斯函数与二项式定理交汇问题
4 有关高考复习备考的两点建议
《普通高中数学课程标准( 2017 年版) 》指出: 在数学高考命题中，考查内容应围绕数学内容主线， 聚焦学生对重要数学概念、性质、方法的理解和应 用，强调基础性，注重数学本质和通性通法.在高考 备考教学中，教师应加强基础知识、基本技能和基本 数学思想方法的训练，以达到提高学生数学关键能 力和数学核心素养的目的.基于此，笔者提出以下高 考备考建议.
4.1 夯实基本知识，以不变应万变
通过文中对与高斯函数有关问题的整理发现， 该类问题主要考查高斯函数的概念与基本性质，考 查的形式主要以选择、填空为主，难度也以中等、容 易题为主.因此，我们在复习备考的过程中，要通过 对该类试题的研究，归纳总结出高考考查的典型题 型及其解题方法，构建完整的知识脉络和方法体系， 熟练掌握与高斯函数有关的典型问题的通性通法， 形成解题模型.只有扎实掌握了这些通性通法，才能 在高考中游刃有余地处理该类问题.
4.2 渗透思想方法，提高核心素养
数学思想是对数学知识的本质认识，是数学的 精髓，是数学基础知识和数学能力之间的一座“桥 梁”.通过上文的梳理，我们发现与高斯函数有关的 问题主要考查分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法，如文中的例 4 考查了分类讨论的思想， 例 6 将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点 个数，考查了转化与化归、数形结合的数学思想.笔 者认为复习备考的教学中注重数学思想的渗透，可 以帮助学生优化认知结构，学会用数学的眼光观察世 界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.
数学学科核心素养的内涵包括数学核心知识、 核心能力、核心品质，主要由数学抽象、逻辑推理、数 学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面 组成，这些数学核心素养既有独立性，又相互交融， 形成一个有机整体.数学核心素养不是具体的知识和 技能，也不是一般意义上的数学能力，它基于数学知识 技能，但高于具体的数学知识技能.因此，笔者认为在 高考复习备考中，我们广大一线教师不仅要重视解题 方法的指导，更要重视对学生核心素养的提高，“授之 以鱼不如授之以渔”，学生的数学素养提高了，解题能 力和解题效率自然提高，无论高考题型如何变化，也定 能在高考中“以不变应万变”，顺利取得高考的胜利.
参考文献:
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[5] 刘海涛.基于核心素养的“问题链”课堂教学实践研究——— 以“基本不等式”第一课时教学为例 [J].中小学教学研究，2021.22( 03) : 21-27.
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