分而用之触类旁通 —分类讨论思想在初中数学教学中的渗透论文

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　　摘 要 :数学课程标准已把数学思想教学作为课程目标之一 ,特别是初中数学教学中解决与分 类讨论有关问题时 , 出现不知道分类、不会分类、分类不全面等问题. 可见在初中数学教学中要重视分类讨论思想.

　　关键词 :初中数学 ;分类讨论;渗透方法

　　数学课程标准把数学思想教学作为课程目标之 一. 笔者在多年的教学实践表明 :有很多学生由于没 有掌握正确的数学思想 ,导致学习数学老是不能进 步 ,上升空间有限 ,这也说明他们没有深入认识到数 学思想是数学思维的核心. 一味地做题、刷题达不到 预期的效果. 有时我们作为教师在教学时也会只关 注知识的结果 ,忽视知识的形成过程中所存在的数 学思想 ,导致学生的数学思想得不到培养 ,考试遇到 灵活性和比较难的问题就不知道怎么做. 特别是解 决与分类讨论有关的问题时 ,出现不知道分类、不会 分类、分类不全面等问题. 而分类讨论思想在初中阶 段运用范围比较广泛 ,可见在初中数学教学中要重 视分类讨论思想.

　　什么是分类讨论思想? 一般情况下 ,如果题目 所给的条件无法确定 ,无法用统一 的方法进行解答 , 需要将这个问题分成几种情况 ,每种情况逐一研究 解决 ,最后将各种情况下的解进行归纳整合. 针对分 类讨论思想在数学教学的思考 ,我将从以下几个方 面进行阐述 :

　　1 初中数学分类讨论思想运用步骤与基础

　　1. 1 分类讨论运用步骤

　　数学教学中运用分类讨论 ,首先需结合题目要 求 ,对问题进行细化分析 ,有效确定讨论目标 ,然后 再根据研究目标实施讨论 ,最后归纳总结得到结论. 初中数学教学中运用分类讨论思想 ,可结合对应步 骤实施教学. 在运用中每次的分类都要依据一定衡 量标准进行分类 ,让学生在使用分类思想的时候不 遗漏 ,不重复. 因此为了保证分类讨论思想的全面性 与系统性 ,需依照一定研究目标实施教学 ,进行综合 性讨论.

 

　　1. 2 运用分类讨论思想的基础

　　初中数学分类教学在具体实施的时候 ,对于一 些问题不能进行统一研究时 ,就要以一定标准实施 分类讨论. 此过程中学生要明确讨论对象与范围 ,确 定分类的标准. 分类讨论思想不是所有问题都适用 的 , 因此学生要知道哪些题目解决的时候需要运用 分类讨论. 例如 ,等腰三角形已知一个角求另外两个 角 ,或者已知一条边求另外两条边 ,看到这种类型的题目就要立刻想到分类讨论.

　　2 不同教学环节渗透分类讨论思想策略

　　2. 1 在新授课中渗透分类讨论思想

　　在初中数学教材中 ,有很多知识的探索需要用 到分类讨论思想. 教师上课的时候紧扣教材就能很 好地渗透分类讨论思想.

　　例如 :七年级上册第 2 章有理数 ,这章有很多分 类讨论的内容. 首先是有理数的概念这节课 ,要求会 按照不同的标准对有理数进行分类. 其次从正数、负 数、零三个角度研究绝对值. 然后是从同号、异号、零 这三个方面研究有理数加法法则、乘法法则. 最后是 从正数和负数两方面研究有理数的乘方. 第 3 章代 数式中比较两个代数式大小时 ,也会用到分类讨论 的思想. 第 5 章走进图形世界 ,需要学生按照一定的 标准 将 图 形 进 行 分 类. 第 6 章 平 面 图 形 的 认 识 ( 一 ) ,学习平行线这节课时 ,在引入两条直线位置 关系的时候也会用到分类的思想. 又如八年级第一 学期的几何教学 ,第 2 章这一章节 ,课堂上在研究线 段垂直平分线性质定理和判定定理时 ,需要将点与 线段的位置进行分类. 证明有一个角是 60 度的等腰 三角形是等边三角形时 ,需要将 60 度的角进行分 类. 特别是等腰三角形的练习题中也有很多需要分 类讨论的 ,该章节分类讨论出现的较为多 ,学习这一 章节时 ,教师要好好利用教材重点强化学生分类讨 论意识.

　　其实 ,每个年级的教学内容都会涉及到分类讨 论 ,教师需要充分地研究教材、把握教材 ,在探讨知 识的过程中无形地渗透分类讨论的思想 ,让学生有 分类讨论的意识.

　　2. 2 通过解题渗透分类讨论思想

　　在讲授新课知识过程中向学生渗透分类讨论的 思想是一个比较漫长的过程 ,对于初中刚入学的学 生是个比较好的方法. 对于高年级的学生 ,为了让学 生能更好地掌握分类讨论 ,可以设置相关专题 ,让学 生学会从哪些方面去分类 , 怎样分类不遗漏、不重 复 ,强化学生的分类讨论意识. 选取的题目要有价值 ,不是盲目性地选题. 可以从以下几个方面来选 题 :窗体顶端在讲授新课知识过程中向学生渗透 分类讨论的思想是 一 个比较漫长的过程 ,对于初 中刚入学的学生是个比较好的方法. 而对于初三 学生 ,为了 让 学 生 能 更 好 地 掌 握 分 类 讨 论 , 可 以 设置相关 专 题 , 让 学 生 学 会 从 哪些 方 面 去 分 类 , 怎样分类 不 遗 漏 、不 重 复 , 通 过 巩 固 练 习 来 强 化学生的分类讨论意识.
 

 

　　例 1 关于 x 的方程(k - 2 ) x2 - 2kx + k = 6 有 实数根 ,求 k 的取值范围.

　　分析 :本道题是由概念引起的分类讨论. 从方程 的概念进行分类 ,这个方程可以是一元一次方程 ,也 可以是一元二次方程.

　　解 (1)若 k - 2 = 0 ,即 k = 2 时 , - 4x + 2 = 6 是 一元一次方程 ,有实数根.

　　(2)若 k - 2≠0 ,即 k ≠2 时 ( k - 2 )x2 - 2kx + k- 6 = 0 是一元二次方程 a = k - 2 ,b = - 2k ,c = k - 6 因为一元二次方程有实数根 ,所以 b2 - 4ac ≥0 ,4k2 - 4(k - 2 ) (k - 6 ) ≥0

　 　k≥6

　　综上所述 ,k ≥6 或 k = 2.

　　例 2 已知抛物线 y = x2 - 2(k - 1 )x + k2 - k (k 为常数)

　　(1)若抛物线与 x 轴有两个不同的交点 ,求 k 的 取值范围 ;

　　(2)若抛物线经过点(2k ,y1 ) 和点(2 ,y2 ) ,且 y1 > y2 ,求 k 的取值范围 ;

　　(3)若抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛 物线 ,当 1 ≤x ≤2 时 ,新抛物线对应的函数有最小值- ,求 k 的值.

　　分析本题(1) 、(2) 两小问不需要用到分类讨 论 , 比较基础 ,只要计算时细心一点就没什么问题. 而第(3) 小问 , 由于函数表达式里系数含有字母 ,导 致对称轴的位置不能确定 ,于是在给定范围内 ,看不 出函数的增减性 ,无法求出最小值 , 因此需要对对称 轴的位置进行分类讨论. 可是学生由于缺少分类讨论的意识 ,大部分学生第(3) 小问留白 ,少部分没有分 类讨论 ,直接求了在顶点处有最小值 ,得分率比较低.

　　解析 (3 ) a = 1 ,b = - 2(k - 1 ) ,c = k2 - k

       当 x = - = k - 1 时 ,y = - k - 1

　　所以原来的顶点坐标为(k - 1 , -k - 1 )

       所以平移后的顶点坐标为(k , - k - 1 )

　　平移后二次函数的表达式为 y = (x - k )2 - k - 1 ,对称轴为直线 x = k

　　①若 k < 1 ,当 1≤x≤2 时 ,y 随 x 的增大而增大

       所以当 x = 1 时 ,y最小值 = (1 - k )2 -k - 1 = -

       解得 k1 = 1(不符合题意 ,舍去) ,k2 =(不符合题　意 ,舍去)

　　②若 1≤k ≤2 ,当 x = k 时,y最小值 = - k - 1 = -

       解得 k = 1

　　③若 k > 2 ,当 1≤x≤2 时 ,y 随 x 的增大而减小

       所以当 x = 2 时 ,y最小值 = (2 - k )2 - k - 1 = -

　　解得 :k1 = 3 ,k2 =( 不符合题意 ,舍去)

       综上所述 ,k = 1 或 k = 3.

　　以上二道例题就是需要用到分类讨论思想的题 型 : 由概念、公式、法则引起的分类 , 由含有字母系数 引起的分类 , 由不确定的图形或位置引起的分类. 在 解题过程中 ,我发现学生会出现无从入手或者答案 不全面 ,错误率比较高 ,其实这和学生缺失分类讨论 思想有关.

　　3 分类讨论思想渗透的注意事项

　　3. 1 低起点渗透分类思想

　　很多数学知识的产生都伴随数学思想 ,但是经 过对初中生分类讨论思想的理解与运用情况进行调 查 ,发现其问题多集中在“ 难”上 ,很多学生无从下手 ,不知道怎么分类. 另外教师的教学也存在一些困 惑 ,数学分类思想比较抽象 ,学生较难理解. 实际上 数学教学中基础知识的教学也渗透了数学思想 ,但 因为学生轻松理解 ,所以忽视了其中渗透的分类讨 论思想. 在此要降低起点 ,发挥基础知识载体性 ,科 学渗透数学思想 ,帮助学生理解.

　　3. 2 注重信息技术的运用

　　信息技术为数学教学增添趣味性 ,分类讨论思 想的运用虽然出现 ,但是必要的时候运用信息技术 手段 ,可让教师在数学思想的渗透教学中起到事半 功倍的效果. 几何画板作为专业性强的数学教学软 件 ,在其动态展示的时候可呈现数学的本质 ,进而渗 透分类讨论思想. 如研究圆周角与圆心位置关系的 时候 ,学生凭空想象比较困难 ,借助几何画板的动态 演示 ,让学生既能快速地发现圆周角与圆心的 3 种 位置关系 ,也能让学生体会到分类讨论的思想.

　　总之 ,分类讨论的思想对于学生学好数学是有 价值的.“ 路漫漫其修远兮 ,吾将上下而求索”,想短 暂时间就能形成和培养分类讨论思想 ,这显然不现 实 ,需要教师在课堂教学中经过长期地、反复地渗透 和训练.

　　参考文献 :

　　[ 1 ] 陈琼. 学好分类讨论 突破解题瓶颈—对学 生中考答题情况的分析与思考[J ] . 初中数学 教与学 ,2012(02) :36 - 39 .

　　[2 ] 倪苗芬. 润泽的教学—谈分类讨论思想在教 学中的渗透[J ] . 数学学习与研究 ,2011 (02 ) :98 - 99 .

　　[3 ] 崔丽娟. 分类讨论思想在解题教学中的应用的 案例[J ] . 数理化学习 ,2009( 10) :17 - 19 .

　　[4 ] 董林伟. 数学实验 :初中生数学学习方式的变革 [J ] . 全球教育展望 ,2020 ,49(09) :103 - 115 .

　　[5 ] 路咏祯. 关于分类讨论思想在初中数学教学中 的应用[J ] . 科学咨询(教育科研) ,2020 (07 ) :223 . 
 
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