数值分析及数学软件在数学建模中的有效应用论文

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摘   要：随着社会生产飞速的发展，我国现代化技术在发展过程中应用的数学软件建模越来越多，而数值分析与数学软件 在数学建模的使用过程中起着巨大作用，并逐渐的应用在现代科技与现代产业建设中，这样既能确保相关项目工程的数据精准 性，又能方便数学建模的相关计算。基于此，本文针对数值分析及数学软件在数学建模中的应用进行探究，希望能对相关人员 提供一些参考与借鉴。

关键词：数值分析 ；数学软件 ；数学建模 ；应用

【Abstract】： With the rapid development of social production, more and more mathematical software modeling are applied in the development of Chinas modern technology, and numerical analysis and mathematical software play a great role in the use of mathematical modeling, and are gradually applied in modern science and technology and modern industrial construction, so as to ensure the data accuracy of relevant projects. It can also facilitate the relevant calculation of mathematical modeling. Based on this, this paper explores the application of numerical analysis and mathematical software in mathematical modeling, hopingto provide some reference for relevant personnel.
【Key words】： numerical analysis;mathematical software;mathematical modeling;application

0 引文

        数值分析主要指的是在数学计算过程中应用相应的 手段寻找相应的计算规律及原理，分析出相关问题的近 似值与假设值，并有效的将数值原理与计算机设备相关 技术和具体数学问题进行结合。当前，我国现代化技术 不断的发展，运用数学建模来解决项目工程与相关问 题，从而保证项目工程的完整性和生产数据的精准性。


1 数值分析在数学模型中的有效应用

1.1 拟合法分析

        在数学建模构建过程中，相关人员要详细的了解已 知条件，已知数据中包含精准条件与分析数据，这就导致部分数据存在不确定性，所以相关人员要明确哪些是 精准条件，哪些是分析数据，通过精准条件来计算数 据，这个过程往往使用拟合法进行检验，在众多的拟合法中最小二乘法是常用的一种，其主要的原理是寻 找与标准值接近的参考数值，从而确保数学建模的数 据与计算数据误差最小 [1]。例如，数          学建模 y=f(x)。其 中 c=(c₁,c₂,… ,c_m)，其数学建模中的主要数据，在已知 数据，(x_1,y₁)，(x₂,y₂)， …，(x_n,y_n) 时，用最小二乘法2确定参数 c 让e(c) = yi  − f (xi , c )  最小，这时，函数y=f(x) 即为数据 (xi,yi)i=(1,2,… ,n) 的最小二乘拟合函 数，当数学建模 y=f(x) 以使用微分求解时，则用微分方 程得到参数 c，此时拟合 c 必须满足c = αrgmin  e (c )。

 1.2 插值法分析

        插值法在数值分析中起着很重要的作用。在许多实 际问题中，因素之间存在着函数关系，但是函数关系 的表达式不明确，通常只能用观查或测试的方法得到一些离散数值，然后用这些数值构造函数的近似表达式 yn=f(x)。插值法就是构造函数近似表达式的方法。函数 yn=f(x) 的一个有效表达式常常要解决经验公式问题， 所以必须通过实验来确定它的函数在某一特定位置的函 数值，即已知部分精确数值 (x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)， 需要求出yn  = ϕ(xn ), n = 0,1, 2,  ，n，这就是插值问题， 函数yn  = ϕ(xn ), n = 0,1, 2,  ，n是插值函数，而多项式插 值是最普遍的方法，也是现代工程计算中样本插值计算最重要的方法 [2]。

1.3 线性方程组分析

        在求解线性设计模型时，人们经常遇到线性方程组 求解问题，这是现代数学建模相关计算中应用最多的部 分，其主要是应用计算机软件对线性方程组进行计算， 其常用的计算方法有两种，第一直接法，第二迭代法。 直接法的相关原理是将线性方程组转换为三角线行方程 组，然后用有限步骤来求解三角方程组，即在有限的步 骤下精准的获得方程解 [3]。但是在实际应用中，所有数 值都存在一定的偏差，这也导致数学建模数值计算的结 果会存在一定偏差，这种求解得出的结论是一种近似 值，因此计算结果的不精准性，导致相关人员还需要对 计算结果进行分析，而且直接法不适用于线性大于 4 组 以上的方程组，所以当线性方程组大于 4 组以上时要使 用迭代法进行求解。在使用迭代法计算线性方程组时， 一定要构建相关的迭代公式，再将线性方程组改写成相 应的迭代方式，从而得到相应的线性方程组。

1.4 数值积分分析

        在求解数值积分问题时，需要相关人员通过求积分公式 ∫^b_af (x)dx = F(b) − F(a) ，可以有效的简化积分的计算过程。但是实际应用中，大部分积分函数都不能得到 原函数 [4] ；对于离散数据或者图形表示的函数，求积 公式也不能直接应用，计算积分只能用数值分析，即 应用相应的数值积分公式进行计算。当函数为列函数 时，原函数的求解将没有任何意义，这部分计算都属于 积函数值加权平均值，假设a ≤             x0  ≤ x1  ≤  ≤ xn  ≤ b，此时积函数的计算公式为∫^b_af (x)dx = (b-a) f (x_i )n，其中a ≤ x0  ≤ x1  ≤  ≤ xn  ≤ b，是求积节点，也是求积系数。历史上，牛顿、高斯等数学家对数值积分都有一定的研究， 其中矩形求积法、高斯型公式求积法、辛普森公式求积 法等被广泛应用。

2 数学软件对数学建模的重要性

         当使用数学建模来解决项目与生产方面相关问题 时，往往需要大量的计算，其中包括函数计算、数值计算、线性方程计算、符号图像计算等，部分计算过程相 对繁琐，因此需要使用计算机及相关的软件进行辅助。 而且随着科技的发展，计算机逐渐渗透各行各业，进而 促使各行各业的迅速发展，而数学领域也不例外，在求 解数学建模过程中，往往需要大量的计算，特别是某些 数学竞赛，由于其时间限制，在竞赛过程中直接使用相 关的数学软件来求解，从而节省大量的时间。所以在数 学建模实际应用中引入数学软件十分必要 [5]。（1） 在数学建模教学中引入数学软件能有效的帮助工程师提高工 作效率，减小工作量，而且数学软件的使用还能有效的 提高学习效率，使得工程师在进行数学建模的过程中不 再枯燥乏味。（2）数学软件具备画图功能，能将数学 数据转化为图像，使得数学数据能直观的转化为相关图 像，使效果更加直观化、简易化，有利于人们的观察与 使用。（3）在数学建模中利用数学软件能有效的解决相 关数值统计问题，使数据更加系统，提高数学建模的实 际应用，并解决实际问题 [6]。

3 数学软件在数学建模的实际应用

3.1 数学软件在数学建模应用过程中的多元化

         数学建模一般应用在工程技术、金融市场、机械电 力等相关领域，其大多数以物理、工程、化学等学科 为主，但是随着时代的发展，现阶段大量计算机与相 关的软件得到人们的广泛应用，进而繁衍出各种数学软 件，使得过去很多无法解决的课题与工程难题得以解 决，而且在使用相关的数学软件解决数学建模方面的问 题时可以衔接 CAD 等制图软件，促使相关工程得到合 理的完善，而且部分数学软件在使用过程中能进行数字 化模拟，从而代替过去相关的实验。其次，现阶段的高 新产业大多数在使用数学建模，如移动设备通讯、电子 设备研发、航天航空等相关领域，这些领域在计算机设 备与相关技术的支持下已经有效的将数学建模与计算机 图像等相关结合，进而在相关的高新领域起到一定的作 用，而现阶段数学建模在使用过程中应用的数学软件非 常多， 包括 MATHEMATICA、MAPLE、SPSS、SAS、MATLAB、MATHCAD、PAJEK、WEKA 等 [7]，这些 数学软件的功能各有不同，SPSS、SAS 一般应用在数 学统计，WEKA 应用在数据挖掘，PAJKE 主要应用在图论，MATHEMATICA 等属于常规应用， 其功能相 对较多，但是某些方面不够专业，MATLAB 应用于数 值计算和符号计算、绘图、汇编语言等，也是应用比较 多的软件。此外，随着数学软件在数学建模中的广泛应 用，导致数学学科与部分领域相互渗透，进而演变成许 多交叉学科，如数学建模与经济结合演变出来的计量经济学、人口与数学建模结合演变出来的人口控制学、生 态与数学建模结合演变出来的数学生态，而数学建模是 这些学科发展与应用的基础，所以不同领域对数学建模 的应用各有不同，这也为数学建模提供宽广的发展空 间，而数学建模的发展必然带动数学软件的发展与迭 代，导致数学软件在数学建模应用过程中的多元化 [8]。


3.2 数学软件在数学建模项目运行中的应用

         数学建模应用越来越广泛，现阶段很多行业都在建立相关的数学模型，用数学建模来计算项目的合理性与 亏损程度，快速获取信息，制定实际问题的解决方案等。 而数学建模也分很多种，其中包括回归拟合 (MATLAB)、 数学规划 (Lingo)、多元统计回归 (SPSS)、图论入门 (Lingo)、蒙特卡洛模拟与仿真 (MATLAB)、微分方程模 型与案例分析 (Mathematic。这些方法对各个行业的 数据统计、模拟、计算等至关重要，能有效的帮助企业 回避风险，并适当地预测市场的走向，使得企业健康发 展。其次，数学建模能有效的帮助企业解读经典案例， 在解读的过程中会应用的一些常用的算法，这显得特别 繁琐，因此使用数学软件来代替常规的算法，进而节省 出大量的时间。而且一些好的案例能有效的帮助企业建 立发展战略，从而提高企业的生产效益。其优势有以下 几点 ：（1）在案例解读过程中使用数学软件能帮助相关 人员加强算法理解，使得相关人员在实际应用中能正确 运用，并适当的进行改进，进而解决企业问题。（2）数 学建模是相对规范的，使用数学软件能加深阅读理解， 提高数学建模使用的规范性 [9]。（3）对某些优秀项目案 例详细解读，对企业与相关员工的至关重要，其不仅能 参考案例的实际应用效果，还能为企业积累相关的经 验，使得企业对市场竞争中预判能够更加精准、实际问 题的解决更加快速。（4）数学软件在企业中的实际应用 相当重要，其能有效的利用数据库和网络资源来实现多 种算法的综合应用，进而帮助企业实现利益最大化。但是现阶段比较流行的数学软件为 MATLAB、Maple、 MathCAD，这些软件各具特色，具体选择使用哪种软 件，还要根据企业实际情况来定。

4 结语

          综上所述，数学软件与数值分析对数学建模的适用 非常重要，但是这也对使用者有些相当高的要求，使用 者必须精通各种数学软件以及数值分析，这样才能在实 际应用中更快速、更高效的解决数学建模问题，这对数学建模的使用人员及相关单位有着重要意义。

参考文献

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[5] 李伟才,赵丽琴,张东凯.数值分析思想方法在数学建模中的 应用[J].科技广场,2015(9):219-223.
[6] 庞金龙,于水英.高校信息资源共享平台的数学软件建模设 计与实现[J].数字技术与应用,2018(6):182.
[7] 刘文娟.以就业为导向的地方高校数学与应用数学专业软件 建模研究:基于教师发展核心素养[J].产业创新研究,2020(18): 162-163.
[8] 蒋漪涟,刘晓丹,张路通.基于云存储的数值分析及数学软件 建模[J].机械制造与自动化,2016(4):104-107.
[9] 赵秀,陆美.地方师范院校数学本科专业应用数学专业软件 建模设计[J].黑龙江科学,2019(1):10-13.
 
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