【摘要】文中考虑市场中两家企业都以相对利润最大化为目标ꎬ并采用梯度调节机制来进行策略调整ꎬ进而建立了一个基于相对利润最大化的有限理性动态量子Ｂｅｒｔｒａｎｄ博弈模型ꎮ通过理论分析ꎬ得到了量子Ｎａｓｈ均衡点的局部稳定性条件ꎮ此外ꎬ通过数值仿真ꎬ直观地呈现了均衡点随着各参数的动态演化过程ꎮ结果表明ꎬ当两家企业的调整速率和边际成本过高时ꎬ系统会通过分岔进入混沌状态ꎬ使市场变得不稳定;而较高的量子纠缠度可以延迟分岔和混沌的发生ꎬ有效控制市场的稳定ꎮ最后发现ꎬ企业产品的差异化程度过高或过低都会导致市场的不稳定ꎬ需要控制在合适范围内ꎮ
【关键词】Ｂｅｒｔｒａｎｄ模型,量子博弈,相对利润最大化,有限理性
１引言
量子博弈论起源于２０世纪末期ꎬ最早由Ｍｅｙｅｒ[１]提出ꎬ是量子信息论与经典博弈论相结合的一门新兴交叉学科ꎮ在博弈中ꎬ当参与人按照量子力学规律进行博弈时ꎬ量子策略能够展现出经典博弈策略所不具备的优越性ꎮ因此ꎬ量子博弈引发了学者们的广泛关注ꎬ并被应用于经济学、信息科学、系统决策等领域ꎮ
而科技的进步和世界格局的日益变化ꎬ提高了市场的淘汰率ꎬ企业之间的竞争也越来越激烈ꎬ形成了各种垄断企业ꎬ这使得垄断市场成为了经济管理系统研究中的热点问题ꎮＣｏｕｒｎｏｔ博弈模型和Ｂｅｒｔｒａｎｄ博弈模型是寡头垄断市场中最常见的两种模型ꎬ大量学者从量子博弈视角出发ꎬ利用量子策略的特点来研究这两种寡头博弈模型ꎬ并考虑到在经典的寡头博弈中完全理性的假设不符合实际ꎮ因为这意味着参与人具有在不确定环境下使得自身利益最大化的判断能力ꎬ并能够精准地做出最优决策ꎬ但这样的理性水平很难达到ꎮ但是基于参与人个体的认知水平和对信息掌握的程度ꎬ在动态博弈过程中ꎬ对下一阶段的策略做出预判的有限理性水平是参与人比较容易具备的ꎮ因此ꎬ学者们提出了几种常见的理性假设:基本有限理性行为[２]、适应性有限理性行为[３]、延迟有限理性行为[４]、天真预期行为[５]等ꎮ因此ꎬ量子博弈得到了进一步发展ꎬ田英楠等[６]构建了有限理性与适应性预期的量子Ｃｏｕｒｎｏｔ模型ꎬ发现产量调整速度控制在一定范围时ꎬ量子纠缠与系统稳定性呈正相关ꎮ王嘉琪[７]构建了具有有限理性预期与简单理性预期的量子Ｂｅｒｔｒａｎｄ博弈模型ꎬ发现量子纳什均衡点在一定范围内渐进稳定ꎮ２０２２年ꎬ张新立等[８]研究了具有异质预期的量子Ｂｅｒｔｒａｎｄ动态博弈模型ꎬ对动态博弈过程的复杂行为进行了分析ꎮＺｈｏｕ等[９]研究了具有非对称信息和异质参与者的量子Ｃｏｕｒｎｏｔ双寡头垄断的动力学模型ꎬ发现通过适当调整量子纠缠的程度ꎬ可以调整高成本引起的市场失效ꎮ
上述研究考虑的都是参与人追求绝对利润最大化的情形ꎬ然而在竞争市场中ꎬ基于人的本性ꎬ市场中的博弈参与人很多时候不是只关注自己的利润ꎬ也会关注对方的利润ꎬ追求的不是自身利润最大化ꎬ而是自身与对手利润差值的相对利润最大化ꎮＥｌｓａｄａｎｙ[１０]建立了基于相对利润最大化的有限理性Ｃｏｕｒｎｏｔ双寡头博弈的动力学ꎬ给出了有关经济模型的平衡点及其稳定性的结果ꎬ并说明了分岔的发生情况ꎮ结果表明ꎬ调整速度和产品分化参数是影响Ｎａｓｈ均衡稳定性的因素ꎮ２０１９年ꎬＨｕａｎｇ等[１１]建立了基于相对利润最大化的Ｃｏｕｒｎｏｔ－Ｂｅｒｔｒａｎｄ博弈模型ꎬ发现通过选择适当的控制参数ꎬ混沌系统可以恢复到稳定状态ꎮ２０２０年ꎬＰｅｎｇ等[１２]建立了基于相对利润委托最大化的有限理性Ｃｏｕｒｎｏｔ双头垄断模型的混沌动力学模型ꎬ考虑了公司将决策权委托给经理ꎬ进而建立了基于相对利润最大化的奖励机制ꎬ并分析了具有相对利润委托最大化Ｃｏｕｒｎｏｔ双寡头垄断模型的动态特性ꎮ２０２１年ꎬＬｉ等[１３]研究了具有知识溢出效应和相对利润最大化的Ｃｏｕｒｎｏｔ双寡头垄断博弈模型的稳定性、多稳定性和不稳定性ꎬ发现稳定区域的大小与参数的取值有关ꎬ系统有两种不同的混沌路径ꎬ一种是通过Ｆｌｉｐ分岔ꎬ另一种是通过Ｎｅｉｍａｒｋ－Ｓａｃｋｅｒ分岔ꎮ此外ꎬ还通过分岔过渡图、最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数图等数值模拟来支持理论结果ꎮ２０２３年ꎬ邓智艺[１４]建立了相对利润最大化下二次成本的量子Ｃｏｕｒｎｏｔ模型的动力学ꎬ并对唯一Ｎａｓｈ均衡点的局部稳定性进行了分析ꎮ
综上所述ꎬ相对利润下动态寡头博弈模型虽然在近年来开始引发学者们的关注ꎬ但关于相对利润下以价格作为决策变量的量子Ｂｅｒｔｒａｎｄ模型却鲜有研究ꎮ因此我们将建立追求相对利润最大化的有限理性动态量子Ｂｅｒｔｒａｎｄ博弈模型ꎬ探究动态系统的复杂特征ꎬ并进一步探究量子纠缠和模型的相关参数对系统稳定性的影响ꎮ这可以在一定程度上丰富和发展量子寡头动力学理论ꎬ使得量子博弈论具有更加广泛的实用性和理论价值ꎬ也能给追求相对利润情况下竞争较为激烈的市场提供指导作用ꎮ
２模型建立
考虑在双寡头博弈中ꎬ两家企业生产差异化的产品ꎬ并且都以产品的价格作为决策变量ꎮ令ｑ１ꎬｐ１表示第一家企业的产量和价格ꎬｑ２ꎬｐ２表示第二家企业的产量和价格ꎬ设两企业的需求函数如下:
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